4.2 remaining_K bins

bin は半開区間である。遷移 A → B は、\(R_t\) が bin A に、\(R_{t+1}\) が bin B に入る位置 \(t\) で起こる。

0-1      : 0   <= R < 2
2-3      : 2   <= R < 4
4-7      : 4   <= R < 8
8-15     : 8   <= R < 16
16-31    : 16  <= R < 32
32-63    : 32  <= R < 64
64-95    : 64  <= R < 96
96-127   : 96  <= R < 128
128-191  : 128 <= R < 192
192+     : 192 <= R

4.3 transition_k

位置 \(t\) の遷移出現について、transition_k は valuation step \(k_t\)。capped pattern 要約では \(2\) を 超える値を 3+ と報告するが、A signature のような厳密な event 判定では transition_k=1 は \(k_t = 1\) を厳密に意味する。

4.4 pre_k_window_3 と局所窓

位置 \(t\) の遷移出現について \( \texttt{pre\_k\_window\_3} = (k_{t-2}, k_{t-1}, k_t) \)。\(t<2\) のとき word 先頭で 切り詰める。pre_k_window_5 は長さ5の同様物。pattern table は \(2\) 超を 3+ と capping する。 local_rolling_k_window_4 は、その index 範囲が出現 \(t\) を含む長さ4の valuation 窓の集合（word 境界に 従う）。local_rolling_k_window_3 は長さ3の同様物。

4.5 entry route

各 remaining_K bin について、pre-step の remaining_K 値がその bin に入る最初の位置を \(s\) と する。その bin の位置 \(t\) の出現は、\(s=0\) なら entry route が START_IN_LAYER、そうでなければ位置 \(s-1\) の bin を用いて INFLOW_FROM_<前の bin> となる。

4.6 pass と stay

bin \(A\) から bin \(B\) への対象遷移について、bin \(A\) で始まる出現は、post-step の bin が \(B\) なら pass、 まだ \(A\) なら stay とする。その他の exit は pass/stay の条件付き比較から除外する。

4.7 A signature

正準 A signature は出現レベルの条件であり、すべての条件が同一の遷移出現上で成立しなければならない。

from_bin       = 64-95
to_bin         = 32-63
entry_route    = START_IN_LAYER
transition_k   = 1
pre_k_window_3 = 1,1,1

4.8 focus_state

focus_state はパイプラインが固定する複合状態ラベル。本稿で注目する状態は late_growth|deep_32_63|even。

4.9 actual と iid word の標本

actual 標本は、パイプラインの指定 power/layer 範囲の標本化奇整数から生成した加速 Collatz valuation word からなる。iid 制御標本は、パイプラインで用いる傾けた valuation 分布から valuation step を 引き、累積 log-position が層の escape 閾値を越えたときに停止して生成した独立 valuation word からなる。各 iid word は 標本化手続きが割り当てる Monte Carlo 重みを持つ。

4.10 重み付けと派生統計

sequence-level の table は、断りがなければ出現重み付き。整数側射影の table は、単一整数が複数の適格出現に寄与 しうるため、関連する整数サポートを別途報告する。from mass は from-bin に置かれた重み付き質量、 pass rate は占有を条件とした通過確率、conditional delta は actual pass rate − iid pass rate、mass delta は actual from mass − iid from mass、 pass share は総 pass 質量のうち部分集団に帰属する割合である。

4.11 paradoxical 構成（観測ラベル）

ある from-bin は、mass delta < 0（質量欠損）と conditional delta > 0（条件付き超過）が 同時に成立するとき、paradoxical 構成を示すという。本語は観測上のラベルとしてのみ用いる。

5. remaining_K chain：質量欠損と条件付き超過

隣接する3つの下流遷移を調べ、それぞれについて両アンサンブルの from-bin 質量、条件付き通過率、およびその差を 報告する。

3遷移すべてで、from-bin は actual アンサンブルの方が代理より薄く、一方で条件付き通過率は actual の方が高い。 質量配置と局所遷移強度が逆符号を持つ。これが分解する paradoxical 構成である。

3遷移は同じ重みで読むべきではない。条件付き超過は数値上 96-127 → 64-95 が最大だが、この遷移は support が群を抜いて小さく、上位 sub-pattern の多くが low-support セルに支配される。質量欠損は chain を下るにつれ 単調に増大し、32-63 → 16-31 で最も安定に測られる。64-95 → 32-63 はその中間にあり、明確に 負の mass delta、正の conditional delta、十分な support を併せ持つ。したがって 64-95 → 32-63 を分解の主対象、 32-63 → 16-31 を副対象とし、96-127 → 64-95 は暫定扱いとする。

6. paradoxical sequence：sequence-level の担い手

反転を確立したうえで、条件付き超過が軌道全体に一様に広がるのか、特定の sequence-level signature に集中するのかを 問う。各 from-bin 内で4群を比較する。actual pass iid pass actual stay、iid stay。

6.1 64-95 → 32-63 の entry-route 分解

最も明瞭な遷移を entry route で分けるのが、単独で最も情報量の多い切り口である。

条件付き超過は START_IN_LAYER に集中する。inflow route は同程度の from-mass 欠損を持つが、 conditional delta はわずかに負であり、超過を担っていない。したがってこの構成は「actual アンサンブルが一般に 下流へ落ちやすい」ではなく、より特定的に「64-95 bin で始まった軌道が actual の方で下流へ落ちやすい」と 読む。これは生の conditional delta を超える一段の情報である。

6.2 START_IN_LAYER 内での pattern 集中

START_IN_LAYER 内で、最も強い正の pass 側集中は短く all-1 である。transition_k=1 （pass-share delta +0.0434）、pre_k_window_3=1,1,1（+0.0238）、local_rolling_k_window_3=1,1,1 （+0.0130）、local_rolling_k_window_4=1,1,1,1（+0.0119）。いずれも十分な support。joint cell はこれをさらに 鋭くする。

counter-pattern（transition_k=2、pre_k_window_3=1,1,2、pre_k_window_3=1,1,3+、 local_rolling_k_window_4=2,1,1,1）は actual pass 側で枯渇し、いずれも十分な support を持ち、support artifact ではなく iid-enriched pass か actual-stay-enriched として読める。これらは本質的に正の成分の補集合であり、集中が ノイズではなく構造的であることの傍証と取る。

6.3 focus-state 確認

複合状態 late_growth|deep_32_63|even に注目した。64-95 → 32-63 では、この状態は START_IN_LAYER に集中する正の conditional delta（+0.00204、ok support）を示し、全体の読みと整合する。 32-63 → 16-31 では、同状態はより小さく route で分かれた信号を示す。focus state は質的に異なる構造を導入 せず、route・pattern レベルの分解と整合するが、それより鋭くはない。

7. Band Signature Map

次に、A signature が 64-95 → 32-63 に固有なのか、他の帯域も同じ顔を示すのかを問う。各遷移・route に ついて、固定テンプレートの下で正の pass 側集中を順位付けする。

帯域横断の読みは二点。第一に、帯域は唯一の同一 signature を共有しない。共通するのは単一の担い手ではなく、構成の 型（質量欠損下で集中する条件付き超過）である。第二に、64-95 → 32-63 の all-1 の顔が最も明瞭、 32-63 → 16-31 は別個の transition_k=2 の顔、96-127 → 64-95 は確信を持って分類するには low-support すぎる。したがって帯域は、単一の普遍 signature ではなく、共通の paradoxical 構成に対する帯域固有の顔を 示すと記述する。

地図自体に測定上の注意が含まれる。狭い joint cell は、単に狭いという理由で大きな conditional delta を出しうる。地図は readable carrier（十分な support、テンプレート横断で安定）と top joint cell（conditional delta 最大、狭い 可能性）を区別しており、本稿は前者を読み後者を読まない。

8. 整数側への射影

64-95 → 32-63 の A signature を整数座標へ射影し、signature を担う actual 整数が整数空間で偏るかを問う。 これは対応に対するバイアス確認であって、整数の性質に関する主張ではない。64-95 bin の START_IN_LAYER 内で、出現重み付きの4群を作る。A（signature pass）、B（非 signature pass）、 C（signature stay）、D（非 signature stay）。

8.1 スケール

signature pass 群はやや低い log2(n) 側に位置する。A 対 B の平均差は −0.894（中央値 −0.766）、A 対 C の 平均差は −0.498（中央値 −0.333）。同一 bin・route 内で、signature を担う整数はやや小さいスケールで観測される。

8.2 剰余と prefix の構造

A 群は、他群と比べて最大剰余類に富む。mod 8 は剰余 7（≈0.382）、mod 16 は 15（≈0.261）、 mod 32 は 31（≈0.179）、mod 64 は 63（≈0.097）が先頭。対応して、先頭の parity prefix は all-1 （1111、111111）、先頭の valuation prefix は 1,1,1,1。これらは transition_k=1 / all-1 の sequence signature が期待させる整数座標像である。

9. Matched control

shadow だけでは「sequence signature が整数像を超えて pass を予測する」のか「sequence signature は単に整数側座標の像で ある」のかを区別できない。整数側座標を共有する制御群に A を対応づけ、対応づけ後も signature が pass と stay を区別するかを 問う。

読みは「条件付きのはい」である。単独の整数側座標（log2(n)、いずれか単一の剰余 modulus、いずれか単一の parity prefix）は signature を説明しない。これらのいずれか一つで対応づけると、対応づけ後の delta は負になる。一方 signature は、長さ4の valuation prefix の厳密対応づけでは生き残り、log2(n)・剰余 modulus・parity prefix を 同時に保つ支持された結合制御でも生き残る。したがって、この標本化対応づけ比較において、integer-side shadow は A signature を 完全には説明しないが、生き残る信号は一次元の剰余やスケール効果ではなく結合座標依存である。列挙した制御の後の予測性以上の ことは主張しない。

10. 考察

測定は単一の記述的 chain へまとまる。観測軌道と構造のない代理との差は、以前 remaining_K chain に局在 していたが、符号反転の形を取る。すなわち質量欠損と条件付き超過。超過は拡散的ではなく、少数の sequence-level signature に 集中する。最も明瞭な担い手は 64-95 → 32-63 にあり、START_IN_LAYER・transition_k=1・ all-1 局所文脈というコンパクトな結合 signature であって、これを A signature と呼んだ。帯域横断では構成は共通だが signature は そうでなく、各帯域は独自の顔を持つ。整数座標へ射影すると、A signature は弱いが再現性ある shadow を残し、その shadow は多変量で ある。すなわち、いずれの単独の整数側座標でも説明に抗い、結合制御の下でなお存続する。

外部ベンチマーク（付録A）は、A signature が孤立したセルではなく広い回廊を標すという読みと整合する。独立に定義された paradoxical 開始整数集合のかなりの割合がそこに乗り、乗らない整数も多くは1条件だけそこから外れている。これを、A signature が 回廊の正準的な顔（canonical face）——唯一ではなく代表的な担い手——を占めると読み、overlap から現象の同一性を推論しない。

11. 限界

• 解析母集団は標本化された long-word・最終状態条件付けアンサンブルであり、全列挙ではない。すべての share と support は アンサンブル量である。
• low support は全体を通じ重み付き閾値 0.002 で標される。low-support セルは主張ではなく候補である。とりわけ 96-127 → 64-95 帯は暫定。
• rolling window は遷移近傍に局所化されており、全 word の窓頻度を表さない。
• matched-control の生存は結合座標依存である。対応づけは列挙した整数側座標のみを除去し、ありうる全ての整数構造を除去しない。
• 代理（iid word）アンサンブルは、パイプラインの傾けた valuation marginal を保ちつつ系列的構造を取り除く。その構成と重み付けは §4.9 に記され、パイプラインの選択である。
• paradoxical の語は質量欠損／条件付き超過の構成に対する観測ラベルとしてのみ用い、Rozier–Terracol の概念ではない。
• 本稿のいかなる箇所でも、因果・生成・機構の主張は行わない。

12. 結論

観測的な言葉で、観測加速 Collatz 軌道と構造のない代理が remaining_K chain 上で符号反転的に——質量欠損と 条件付き超過が共に——異なること、そしてその条件付き超過が少数の帯域固有 sequence signature に集中することを報告した。最も 明瞭な担い手は 64-95 → 32-63 の A signature である。この signature は、いずれの単独整数座標でも説明されない、 弱く多変量で再現性ある integer-side shadow を残す。外部ベンチマークは signature と大きく overlap するが同一ではない。結果は、 逆符号現象がどこで担われ整数座標へどう対応するかの地図であって、説明ではなく、測定として提示する。

付録A. Rozier–Terracol 外部ベンチマーク overlay

A.1 目的とベンチマーク集合

Rozier–Terracol 付録Cの acyclic paradoxical 開始整数（arXiv:2502.00948）を remaining_K 座標系と 64-95 → 32-63 signature 上に重ねる。外部ベンチマークとしてのみ用いる。抽出は付録Cの出現 593 件と 相異なる開始整数 550 個を再現し、うち 40 個は複数の (j,q) 群に現れる。奇偶の内訳は 294 / 256。

A.2 A signature との overlap

ベンチマークは A 担い手と大きく overlap し、確認した 32-63 → 16-31 の顔とはまったく整合しない。

A.3 頑健性の再確認

overlap が強いため、抽出・写像モード・event の厳密さ・計数モード・baseline・negative control を監査した。

最初の出現 対 軌道。「最初の 64-95 出現のみ」定義の下では A overlap は 0。overlap は 軌道レベルの event である。すなわち、ベンチマーク整数のかなりの部分集合は、64-95 bin への最初の進入時ではなく、 軌道の途中のどこかで厳密 A signature を踏む。これは §4.5 の定義（START_IN_LAYER は word が始まる位置を 標し、最初の進入 event ではない）と整合する。

同一出現の妥当性。別途の監査により、transition_k=1 と pre_k_window_3=1,1,1 は 同一の出現上で満たされること（全モードで妥当性 1.0、整数あたり厳密 A 出現は1回）を確認し、出現横断の プーリング artifact を排除した。

negative control。制御集合の full A overlap は明確に低い。同サイズ範囲ランダム 0.205、最小から 連続 0.204、奇ランダム 0.175、shift 集合（n±1、2n+1）0.33–0.35。 ベンチマークの overlap はこれらを大きく上回る。

A.4 overlap しない整数の分類

full A signature に hit しない整数は、ランダムな残余ではない。original-n strict モードでは 185 個の non-hit が 以下に分類され、164 個は near-A（4条件中3条件を満たす）で、最も多い欠落条件は START_IN_LAYER である。odd-core モードでも同様（154/173 が near-A）。

A.5 読みと限界

このベンチマーク overlay は、A signature が、ベンチマーク整数の多くが通る広い回廊の正準的な顔を占めるという読みと整合 すると読む。Rozier–Terracol の paradoxical sequence と本稿で扱う構成が同一現象であるとは主張しない。両概念は定義が異なる。 odd-core 依存性は明示的に報告する。actual support を欠く baseline（とりわけ log2 対応の baseline。ベンチマーク 整数は標本化 actual 母集団よりはるかに小さいため）は主張に用いない。これは外部ベンチマーク overlay のみである。

不足している図表

編集上の提案のみ。すべて既存の出力から作れ、追加計算を要しない。

1. 図1 — 逆符号 chain。遷移ごとに mass Δ（負）と conditional Δ（正）を双子の棒で（§5）。support は棒の幅か不透明度で。
2. 図2 — entry-route 分解。START_IN_LAYER 対 INFLOW_FROM_96-127 の conditional Δ と pass-share を並置（§6.1）。
3. 図3 — A signature の集中。START_IN_LAYER 内の pattern 別 pass-share delta をソートし、all-1 担い手と counter-pattern 補集合を示す（§6.2）。
4. 図4 — Band Signature Map。帯域ごとのタイルの small multiples。96-127 → 64-95 のタイルは暫定と標す（§7）。
5. 図5 — integer-side shadow。A/B/C/D の log2(n) 分布の重ね描きと、mod 8/16/32/64 の剰余 enrichment ストリップ（§8）。
6. 図6 — matched-control ラダー。制御ごとの enrichment ratio。1.0 線を標し、単独座標（1未満）と結合制御（1超）を分離（§9）。
7. 図7（付録）— Rozier overlap ツリー。550 → A-hit / non-hit の分岐と4つの non-hit クラス。near-A 件数を注記（A.4）。
8. 表1–5・A1–A3。上掲のとおり。