4量子ビット：開放鎖 vs. 閉環

01何を比較しているか

2 つのブランチはいずれも t=0 に |0000> から出発し、観測窓の全区間を通じてそれぞれ固有の固定ハミルトニアンの下で時間発展させた。

どちらのブランチにも結合のスイッチングやクエンチはなく、時間依存項もない。サイトラベル 0,1,2,3 は両ブランチで同一の物理サイトを指す。閉環は周期的な追加結合 (3,0) の分だけが異なる。

これはトポロジー比較であり、既存の局所クエンチ研究（t_switch=1.688）とは別個の実験である。
その旧研究に由来するものは、明示された補足セクション（§12）にのみ現れ、スイッチ後の経過時間 tau を用いる。tau は、本ドキュメントの他の箇所すべてで用いる時間原点 t とは決して同一視しない。

02ハミルトニアンと固定条件

• N = 4
• Omega = 1.0
• J = 0.7
• 初期状態 |0000>
• 時間窓 0 <= t <= 3.688
• 主ステップ dt = 0.002、監査用ステップ dt = 0.001
• 対称 2 次トロッター伝播。検証およびモード解析には厳密対角化を使用

03数値手法と定義

状態距離。 全体を通じて、大域位相不変な距離 sqrt(2 - 2 |<psi_open|psi_closed>|) を用いる。

局所応答。 主なサイト分解観測量は次の通り。

O_i = n_i = |1_i><1_i| = (I - Z_i)/2
R_i(t) = <psi(t)| n_i |psi(t)> = (1 - <Z_i>)/2

R_i はサイト i が状態 1 にある確率であり、[0,1] の範囲に収まり、大域位相不変である。これは固定・クエンチ両解析に共通の量としてここで導入した定義であって、旧成果物にサイト分解応答が存在していたという主張ではない。

全応答が非ゼロのとき p_i = R_i / sum_j R_j とします。生（raw）の L1/L2 と正規化 L1/L2 の距離はすべて保存される。本ドキュメントで引用する主な分布形状距離は正規化 L1であり、全変動はその半分である。
生と正規化の距離を別々に報告することで、分布の形状の差と総応答の差が混同されないようにしている。t=0 では全応答が消失するため、p_i はゼロとして保存し、PR/IPR は NaN として記録する。

一体・二体パウリ量。 すべての i<j について、一体期待値 <X_i>, <Y_i>, <Z_i> と、生の二体期待値 <X_iX_j>, <Y_iY_j>, <Z_iZ_j> を保存する。連結相関は次で定義する。

C^AA_ij = <A_i A_j> - <A_i><A_j>,   A = X, Y, Z

生の量と連結量は別々に保存し、混同してはいけない。表示される 4x4 の連結相関マップでは対角成分は慣例によりゼロに設定。対角はオンサイト分散ではなく、解釈もしない。

相関距離。 各チャネルについて、upper_L1 と upper_L2 は open マイナス closed の差の 6 個の i<j 成分にわたって取る。対称かつ対角ゼロの行列では、フロベニウス距離は sqrt(2)*upper_L2 である。統合相関距離は次で与えられる。

D_corr = sqrt(D_XX_upper_L2^2 + D_YY_upper_L2^2 + D_ZZ_upper_L2^2)

特徴量距離。 それぞれ次に対する通常の非正規化ユークリッド距離である。
すなわち 12 個の一体値、6 個の ZZ 連結値、18 個すべての連結値、そして 12 個の一体値と 18 個の連結値を連結したもの。
これらは有限個の観測量に関する特徴量距離であり、完全な状態距離を再構成したものではない。 ここでの連結相関は指定したパウリ観測量の相関関数であり、エンタングルメント尺度としては用いない。

04状態距離 — 何を示すか

2 つのブランチは、いかなるスイッチングイベントもなく t=0 から徐々に離れていき、t=3.462 で最大分離に達し、窓の終端までその水準の近傍に留まる。

05局所応答分布 — 何を示すか

状態距離が最大となる時刻 t = 3.462 におけるサイト分解応答:

closed は 4 サイトすべてで一様である。open はすべてのサイトで closed より高く、端サイトが内部サイトを上回る。

窓に沿った主要時刻

t=3.462 では正規化 L1 距離は 0.040354（全変動 0.020177）である一方、状態距離は 0.546935 。そこでは正規化占有分布の形状は比較的近いものの、生 L1 の差 0.474209 は総応答に相当な差があることを示している。

最大位置の挙動。 固定 closed は保存された全時刻で 4 サイトが等しいままである（全区間で 4 重の同点、位置変化はゼロ）。固定 open は鏡映対称性により R_0=R_3 かつ R_1=R_2 。t=0.008 で初期の 0 近傍の 4 重同点を離れた後、端ペア 0|3 が窓の残り全体で最大となり、移動・反転・往復はない。
同点は許容誤差 max(1e-10, 1e-8*|R_max|) で判定する。ここで持続する同点は対称性由来であり、数値ノイズではない。

状態距離との対応: Pearson(D_state, normalized L1) = 0.688010、Spearman = 0.439491。ここでの相関係数は時系列の共変動を記述するのみで、因果的含意は持たない。

06一体・二体パウリ相関 — 何を示すか

窓におけるチャネル最大値:

D_corr は t = 0.012 で初めて 1e-8 を超える。

状態距離が最大となる時刻 t = 3.462 では、統合相関距離が D_corr = 0.974637690628 であるのに対し、正規化局所占有 L1 距離はわずか 0.040354 である。その時刻の連結相関:

t=3.462 における最大の連結相関差は XX チャネル、ペア (0,3) の 0.472156 — すなわち閉環の追加結合が結ぶまさにそのペアである。

状態距離が 0.5 を超える区間で平均すると、各チャネルの平均距離は XX = 0.564273、YY = 0.40003、ZZ = 0.63102 である。平均では ZZ が最大ですが XX も同程度の大きさであり、この窓での分離は単一チャネルだけでは記述されない。

07状態距離・局所応答・相関距離の対応

3 つの最大値は一致しない。D_corr は t=3.200、状態距離は t=3.462、正規化局所占有差は t=2.154（D_corr のピークから 1.046 のオフセット）でピークを迎える。これらの量は順位の上では互いによく追随するが、異なる極値を持つ別個の時間関数である。

上記の係数はすべて時系列間の共変動を記述する尺度です。閉環の結合と観測された差との間に、いずれの向きの因果的言明も許すものではない。

082 つのブランチの対称性

closed ブランチは、回転不変な初期状態 |0000> とともに閉環の回転対称性を保つ。open ブランチは鏡映対称性を保つ。いずれも残差として数値的に検証されている。

すべての対称性残差はおおよそ 1e-14 以下である。closed ブランチでは 4 つの最近接ペアが互いに一致し、2 つの対向ペアが互いに一致する。open ブランチでは鏡映で関係づくペアが一致しますが、端サイトを含むペアは内部ペアや離れたペアと異なり、その差が相関マップに現れる。

09縮退固有空間ペアからの再構成

縮退したエネルギーを固有空間にまとめ、固有空間射影子 P_E を用いて解析する。寄与は A_EF,i = Tr(P_E rho_0 P_F O_i) です。E != F の場合、順序を問わないペアの実寄与は 2 Re[A_EF,i exp(-i(E-F)t)]、E=F の対角項は 1 回だけ数える。縮退準位をランク付け前にまとめるため、得られる重みは縮退空間内の固有ベクトルの任意な取り方に依存しない。

連結相関は状態について線形ではないため、固有空間ペアにわたって加法的に分解できない。手順は次の通り。生の二体項と一体項を固有空間ペアにわたって線形に分解し、それぞれを再構成し、その後にのみ連結量を「生」から「再構成した一体項の積」を引いたものとして形成した。
この積は非線形であるため、連結量のランク付けスコアは「固有空間ペアを 1 つ除いた」RMS 影響度であり、一意な加法的分解であるとは主張しない。

説明されるエネルギーの所与の割合に達するために必要な固有空間ペア数:

99% の水準では、open ブランチは 23〜37 ペア、closed ブランチは 11〜14 ペアを要す。特に open ブランチは、少数モード構造というより多モード競合として記述する方が安全である。

局所応答のみでは数はより小さくなる。open は総応答の 95% に 6 固有空間ペア、99% に 7 ペアで到達する。一方、空間的に非一様な成分は 95% に 4 ペアで到達するが、99% には 15 ペアを要す。closed の応答は空間的に一様であるため、最大位置のシフトを担うペアはない。

10数値監査

以下の監査はすべて観測された残差として報告するものであり、いずれも解釈はしない。

相関解析の監査

状態・局所応答の監査

厳密対角化との一致、ステップ幅収束、ノルム保存、エルミート性、期待値の実数性、パウリ期待値の限界、大域位相不変性、モード和の完全性はすべて合格している。
物理的比較には、大域位相不変な量 — 期待値、連結相関、およびそれらから構成される距離 — のみを用いる。

11再現と監査の方法

Python 3.14.5、NumPy 2.5.0、Rust/Cargo 1.97.0 で検証済み。NumPy は requirements.txt で固定されている。Cargo クレートは vendor/ に同梱されているため、Rust 段階はネットワークアクセスを必要としない。

python -m venv .venv
.venv\Scripts\python -m pip install -r requirements.txt
.venv\Scripts\python verify_reproduction.py

macOS/Linux では代わりに .venv/bin/python を使用。検証器はクリーンな一時作業ディレクトリを作成し、フォーマット、10 件すべての Rust テスト、両方のトロッター実行、3 件すべての Python 解析を実行した。
次に、再生成した 40 個の CSV ファイルすべてを、絶対許容誤差 2e-12・相対許容誤差 1e-10 で同梱の参照と比較し、環境・コマンド結果・比較最大値・最終判定を reproduction_audit.json に書き出した。

Rust バイナリは両ステップ幅での時系列と状態距離を生成し、Python スクリプトはモード・局所応答・相関の各解析を生成する。
モード監査は、縮退固有空間をランク付け前にまとめた厳密対角化を用いる。Cargo/テストの PASS 結果は検証器によって記録され、数値 CSV 監査にハードコードされてはいない。

再実行に必要なものはすべてアーカイブに含まれる。

• four_qubit_direct_open_closed_two_body_correlation_reproducible_2026-07-20.zip

12主要な出力ファイル

13主張できること・できないこと

本パッケージの数値によって支持されること

• 同一状態から出発する 2 つの固定トポロジーは、いかなるスイッチングイベントもなく分離し、t=3.462 で状態距離 0.546935 に達する。
• t=3.462 では、正規化局所占有分布は比較的近い（正規化 L1 0.040354）一方、統合連結相関距離は 0.974638 であり、最大の単一連結差は XX ペア (0,3) の 0.472156 である。
• D_corr と状態距離は強く共変動する（Pearson 0.953794、Spearman 0.990560）が、異なる時刻でピークを取り（3.200 対 3.462）、いずれも 2.154 の局所占有ピークとは一致しない。
• 閉環の回転対称性と開放鎖の鏡映対称性は、1e-14 オーダー以下の残差で成立する。
• 99% 再構成には、open 側で 23〜37 の固有空間ペア、closed 側で 11〜14 のペアを要する。
• 列挙した厳密性・収束・ノルム・エルミート性・実数性・限界・位相不変性・モード和の各監査はすべて合格する。

明示的に主張しないこと

• 閉環の結合が相関の移動を引き起こすということ。ここでの相関係数は記述的なものにすぎない。
• 二体相関が状態差の全体を説明すること。特徴量距離は有限個の観測量の間の距離である。
• ZZ 相関の差が状態距離の原因であること。平均では状態距離 0.5 超で ZZ が最大チャネルだが、XX も同程度である。
• エンタングルメントが検出されたということ。連結相関は選んだパウリ観測量の相関関数であり、エンタングルメント尺度ではない。
• 一般的な境界機構、輸送則、相転移、熱力学的極限に関する言明。
• N=7 のリンドブラッド・バックフロー研究との機構の同一性。

14後続の弱リンク・対称性拡張（2026-08-17）

主たる拡張は次を用いる。

H(lambda) = Omega/2 sum_i X_i
          + J/2 [Z0Z1 + Z1Z2 + Z2Z3 + lambda Z3Z0]

同じ N=4、Omega=1、J=0.7、時間窓、サイト順序を用いる。サンプリング格子は lambda=0,0.05,...,1 であり、lambda=0 は開放鎖の参照、lambda=1 は閉環の端点である。
これは結合強度を閉じていく掃引であって、連続的なトポロジー変化の主張ではない。

連結相関について、符号付きのブランチ差は次で与えられる。

Delta C_ij^AA(t,lambda) = C_ij^AA(t,lambda) - C_ij^AA(t,0).

ペア ij の点ごとの二乗差シェアは次の通り。

w_ij = sum_A (Delta C_ij^AA)^2
       / sum_{k<l,A} (Delta C_kl^AA)^2,

Q_ij は、対応する時間積分した分子を時間積分した分母で割ったものを表す。全チャネル差ノルムが 1e-8 以下の点では点ごとの比は未定義である。二乗は符号を捨てるため、あらゆる集中の結果は符号付きチャネルの結果と併せて読む必要がある。

14.1 弱リンク掃引

封印された open/closed ベースラインに対する端点チェックはすべて合格する。lambda=1 では、最大状態距離は t=3.462 で 0.546934958021、その時間 RMS は 0.393869262797 である。

lambda=1 における、ペア (0,3) の時間積分継ぎ目シェア:

t=3.462 では、全チャネルの点ごと継ぎ目シェアは 0.514835 である。符号付き継ぎ目差は XX で -0.472156818、YY で +0.268163791、ZZ で +0.440689566 である。したがって継ぎ目は二乗差空間で顕著だが、3 つのチャネルは一つの共通の符号方向へは動かない。

あらかじめ宣言した規則 Q03 > 1/3 を用い、非ゼロ lambda 値の 75% 以上、かつ有効な非ゼロ lambda 時間格子の 50% 以上で成立することを要求すると、観測された割合は 0.550 と 0.761 である。したがって機械的分類は限定的であり、広く頑健ではない。

14.2 ペア空間の再配分

積分した最上位ペアは、lambda=0.05〜0.15 の鏡映同点ペア集合 02|13 から、lambda=0.20〜1.00 の継ぎ目ペア 03 へと変わる。サンプル値間の線形補間では、継ぎ目対 02/13 の交差は lambda=0.166 付近に置かれる。別個の固定閾値イベント Q03=1/3 はより遅く、lambda=0.452 付近で生じる。

lambda=1 における 6 ペア積分分解:

w03<1/3 のとき、エネルギー重み付けした非継ぎ目の残余は、2 つの継ぎ目隣接ペア 01+23 に 0.170、12+02+13 に 0.830 と分かれる。したがってデータは、継ぎ目 → 隣接 → 残りという単純な連鎖を示さない。これらは二乗観測量差分の分母の同時分割であって、伝播の証拠ではない。

鏡映で関係づく等式は数値的に保たれる。01=23 かつ 02=13、積分シェア残差はおよそ 1e-15 である。

15符号付き vs 二乗の連結相関差

符号付き監査は積分

I = integral Delta C dt

を絶対積分

M = integral |Delta C| dt

から分離し、定義される場所で符号付きバランス P=I/M を報告する。lambda=1 における継ぎ目の結果:

したがって大きな継ぎ目の二乗寄与は、持続的に負の XX と、おおむね正の YY/ZZ と両立する。Q は大きさの集中を測り、P は符号の一貫性と相殺を測る。

符号相殺する成分は確かに存在する。最も強い割合の相殺は lambda=0.30、ペア 23、チャネル YY で、M=0.0496291、P=-0.00503727 だが、その大きさは 360 成分中 309 位にすぎない。チャネルシェアが 0.1 以上の成分の中では、観測される最小の |P| はおよそ 0.662 である。したがってデータは、支配的な二乗寄与が強く相殺されるという、より強い言明を支持しない。

16端-内部の占有コントラストと継ぎ目集中

元の |0000> 初期状態について、符号付き一体コントラストを定義する。

E(t,lambda) = [R0 + R3 - R1 - R2] / 2.

E の時間 RMS は、サンプリングした lambda 格子にわたって非増加であり、lambda=0 の 0.0848382 から lambda=1 の数値残余 6.922e-17 まで低下する。対照的に、積分 Q03 は、定義された 20 個の非ゼロ lambda 値にわたって非減少であり、lambda=0.05 の 0.235105 から lambda=1 の 0.451198 まで増加する。

20 個の要約にわたり、Spearman(E_RMS,Q03)=-1.000000、Pearson=-0.980965。有効な全 (lambda,t) 点にわたり、Spearman(|E|,w03)=-0.840902、Pearson=-0.814780。これらは有限で系列的に関連する格子上の記述的関係であり、独立標本推測や因果的証拠ではない。

あらかじめ宣言した四分位チェック — |E| が第 25 百分位以下、かつ w03 が第 75 百分位以上 — は 5,387 点、すなわち有効点の 14.6657% を選び、lambda=0.20〜1.00 と t=0.012〜1.276 にまたがる。|E| を総占有で割っても、定義される範囲で抑制傾向は保たれるため、生の傾向は総占有の一様な変化だけでは説明されない。

|E|、w03、状態距離のピークは概して異なる時刻に生じる。これら 3 つの量のいずれも、他方の代理としては用いない。

17初期状態感受性

ハミルトニアン・格子・演算子・フロア、および各状態の lambda=0 参照定義をすべて固定したまま、追加の初期状態は 2 つだけ導入した。

|1000> では、E_RMS は抑制されるのではなくわずかに上昇する一方、Q03 は非単調で、定義されたすべての lambda で |0000> の曲線を下回る。|0100> では、E_RMS はより大きな open 端点値から減少する。両方の非対称な単一サイト状態は lambda=1 で同じ 3 つの端点値に達するが、これら選ばれた指標の一致は完全な状態の一致ではない。

|1000> と |0100> の完全な曲線は、Q03 について 4.382e-15、時間 RMS 状態距離について 1.221e-15 まで一致する。E_RMS の曲線は lambda<1 で異なる。したがって、|0000> で見られた E の抑制と Q03 の増加は、普遍的なハミルトニアンのみのパターンではなく、初期状態に感受性を持つ。

17.1 厳密な対称性による説明

|1000> と |0100> の Q03 および状態距離の一致は、反ユニタリ対称性によって強制される。

R を鏡映 r=(0 3)(1 2) を実装するものとし、次を定義する。

Gamma = Z0 Z1 Z2 Z3 X0 X2.

サンプリングしたすべての lambda について — 実際には完全なハミルトニアン族について —

[R,H(lambda)] = 0,
Gamma H(lambda) Gamma^-1 = -H(lambda),
R Gamma |1000> = -|0100>.

H(lambda) は計算基底で実であるため、複素共役 K は反ユニタリ写像 Theta=R Gamma K を与え、これは同時刻発展と可換である。

Theta exp[-i H(lambda)t] = exp[-i H(lambda)t] Theta.

同じ Theta が lambda=0 と lambda>0 の両発展を写すため、状態距離に用いる重なりの大きさを保つ。連結相関については、ペアを置換しチャネル/サイトの符号を変えるだけであり、二乗がそれらの符号を除き、全ペア分母は不変で、継ぎ目ペア 03 は鏡映で固定される。したがって点ごとの w03 と積分 Q03 は対称性の不変量である。

占有コントラストは不変ではない。なぜなら一部の Z_i が -Z_j に写り、R_i=(1-Z_i)/2 を 1-R_j に送るからである。lambda=1 では、保存された配列は E_0100(t)=-E_1000(t) を 8.33e-16 まで満たし、占有の点ごとの一致を含意せずに、等しい端点 RMS 値を説明する。

演算子の恒等式は行列残差がゼロである。保存された配列の残差は、全チャネル差分ノルムで 4.21e-15、再構成した継ぎ目二乗エネルギーで 1.00e-15、積分 Q03 で 4.40e-15 である。1e-8 フロア近傍でのより大きな点ごと比の食い違いは丸め誤差の増幅であり、対称性の破れではない。

18拡張成果物・監査状況・更新された境界

すべての拡張段階は、その数値監査と独立な再生成チェックについて PASS を報告する。封印されたベースラインおよび以前に完了した段階の成果物は、関連作業の前後でハッシュチェックされ、変更されていない。

主要なローカルレポート:

• 弱リンク掃引（Weak-link sweep）
• ペア空間の再配分（Pair-space redistribution）
• 符号付き vs 二乗の差（Signed versus squared differences）
• 端-内部コントラストと継ぎ目集中（End–interior contrast versus seam concentration）
• |1000> 比較
• |0100> 三状態比較
• 反ユニタリ対称性の説明（Antiunitary symmetry explanation）