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技術ノート・代数的場の量子論／モジュラー理論

リンドラー地平面上に $K_0$ と $G_f$ が生成する環

本稿の位置づけ。 本稿は、意図的に限定した範囲のなかで既知の結果を再構成した技術ノートである。新しい理論や新たな研究成果を主張するものではない。ここで扱う生成子は、共通のリンドラー・ブースト $K_0$ と、横方向にスメアされたヌル並進 $G_f$ のみである。横方向に依存するダイレーション $D_a$、完全なアフィン・カレント環、および特殊共形変換は構成しない。
既知の定理 ヌル平面場の量子論からの入力 標準的な仮定・定義

1概要

ミンコフスキー真空における右リンドラー・ウェッジの未来地平面と、その地平面のヌル切断に付随するフォン・ノイマン環の族を考える。ここには二種類の生成子が現れる。

得られる関係式は $$[K_0,G_f]=-iG_f,\qquad [G_f,G_g]=0,$$ であり、結果として得られる実リー環は半直積 $$\mathfrak{g}=\mathbb{R}K_0\ltimes\bigl(\mathscr{F}/\ker G\bigr),$$ となる。ここで $\mathbb{R}K_0$ はアーベルイデアルに対して一様なスカラー倍として作用し、$f$ に依存する重みづけは一切ない。

導出は二段階に分かれており、本稿では終始それらを区別する。

  1. 単一の半側モジュラー包含が与えるもの。 ここでは基準切断 $A=0$ に完全に限定する。半側性はビゾニャーノ–ウィックマン定理のみから従う。続くボルヒャース–ヴィースブロック定理により、正の自己共役な生成子とそのブースト共変性が得られる。
  2. ヌル平面場の量子論からの入力を要するもの。 切断の族全体 $\{A\}$、恒等式 $K_A=K_0-G_A$、基準切断に依存しない生成子の独立性、および $G_f$ どうしの可換性は、§4 と §5 において Casini–Teste–Torroba（および Wall）の結果として導入されるのであって、抽象的な包含の帰結としてではない。

とりわけ、単一の包含から供給される生成子はアプリオリには $G_{A;f}$ であり、基準切断のラベルを担っている。$G_{A;f}=G_f$ という主張は入力であって、モジュラー包含の枠組みの定理ではない。

本稿が主張しないことは §9 に列挙する。

定義・記法

2設定と記法

2.1 幾何

符号 $(-,+,\dots,+)$ を持つミンコフスキー時空 $\mathbb{R}^{1,d-1}$ とし、座標を $(x^0,x^1,y)$、横方向座標を $y=(x^2,\dots,x^{d-1})\in\mathbb{R}^{d-2}$、ヌル座標を $$x^\pm=x^0\pm x^1$$ とする。

2.2 試験関数空間

$C^\infty$ とゆるく書く代わりに、明示的な空間を固定する。 $$\mathscr{F}_0:=C_c^\infty(\mathbb{R}^{d-2};\mathbb{R}),$$ とし、$\mathbf{1}$ で定数関数 $y\mapsto 1$ を表す。$\mathbf{1}\notin\mathscr{F}_0$ であるため、定数モードは別に付加する。

$$\mathscr{F}:=\mathscr{F}_0\oplus\mathbb{R}\mathbf{1}$$

これは実ベクトル空間としてである。元は $f=f_0+c\mathbf{1}$（$f_0\in\mathscr{F}_0$、$c\in\mathbb{R}$）と書かれる。 $$\mathscr{F}_+:=\{f\in\mathscr{F}\ :\ f(y)\ge0\ \text{for all }y\}$$ とおくと、$\mathscr{F}=\mathscr{F}_+-\mathscr{F}_+$ である。

定数モードを別扱いするのは、§4.4 で説明するように、$\mathbf{1}$ に付随する生成子がヌル並進生成子 $P_+$ であり、その存在は真空理論のポアンカレ共変性から得られるのに対して、コンパクト台を持つモードは §3 の包含から供給されるものだからである。有界あるいは緩やかに減衰する $f$ からなるより大きな空間についての主張は行わない。$\mathscr{F}_0\oplus\mathbb{R}\mathbf{1}$ を超えて $\mathscr{F}$ を拡張することは別問題であり、本稿では扱わない。

2.3 ヌル切断と局所環

ヌル切断とは写像 $A:\mathbb{R}^{d-2}\to\mathbb{R}$ である。切断 $A$ に対して $$\mathcal{H}_A:=\{(x^+,y)\in\mathcal{H}\ :\ x^+>A(y)\}$$ とおき、$\mathcal{H}_A$ の因果的完備化に付随するフォン・ノイマン環を $\mathcal{A}_A$ とする。特に $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}(W_R)$ である。

仮定 (V)。 ミンコフスキー真空 $\Omega$ は、以下で現れるすべての $\mathcal{A}_A$ に対して巡回的かつ分離的であるとする。このときトミタ–竹崎理論により、モジュラー作用素 $\Delta_A$ とモジュラー共役 $J_A$ が得られる。

2.4 モジュラー生成子の規格化

$$\Delta_A^{it}=e^{-2\pi itK_A},\qquad K_A=-\frac{1}{2\pi}\log\Delta_A .$$ この規約のもとで、ビゾニャーノ–ウィックマン定理は次のように書ける：$e^{iuK_0}$ はラピディティ $u$ のブーストを実装する。各 $K_A$ は自己共役であり、$K_A\Omega=0$、$J_AK_AJ_A=-K_A$ を満たす。これらは（$K_{\rm out}-K_{\rm in}$ の形の）完全なモジュラー・ハミルトニアンであって、片側だけの量ではない。

既知の定理のみ — $A=0$ に限定

3単一の半側モジュラー包含が与えるもの — $A=0$ に限定して

本節では基準切断 $A=0$ のみを用いる。一般の切断族には言及せず、それは §4 で扱う。

3.1 包含とその半側性

$f\in\mathscr{F}_+$ を取り、切断 $A=f$ とする。単調性（アイソトニー）より $$\mathcal{A}_f\subset\mathcal{A}_0$$ が成り立つ。ビゾニャーノ–ウィックマンにより $\Delta_0^{it}$ はブーストを実装し、$\mathcal{H}$ 上で $x^+\mapsto e^{-2\pi t}x^+$ として作用する。したがって $\mathcal{H}_f$ は $\{x^+>e^{-2\pi t}f(y)\}$ に写され、$t\le 0$ に対して $e^{-2\pi t}f\ge f$ であるから、 $$\Delta_0^{it}\,\mathcal{A}_f\,\Delta_0^{-it}\subset\mathcal{A}_f\qquad(t\le0).$$ したがって $\mathcal{A}_f\subset\mathcal{A}_0$ は、共通の巡回的かつ分離的なベクトル $\Omega$ を持つ半側モジュラー包含（HSMI）である。ここで用いたのはビゾニャーノ–ウィックマンのみであり、$A\neq0$ に対する $\Delta_A^{it}$ についての情報は不要である。

相対可換子 $\mathcal{A}_f'\cap\mathcal{A}_0$ に対する $\Omega$ の巡回性は検証しないため、「標準的HSMI」という語は用いず、単に HSMI と書く。

3.2 ボルヒャース–ヴィースブロック定理

共通の巡回的かつ分離的な $\Omega$ を持つ HSMI $\mathcal{N}\subset\mathcal{M}$ に対して、Borchers（1992）と Wiesbrock（1993）は、Araki–Zsidó（2005）による技術的な補完とともに、次を与える。

強連続な1パラメータ・ユニタリ群 $s\mapsto U(s)=e^{isG}$ が一意に存在し、次を満たす。 $$G=G^*\ge0,\qquad G\Omega=0,$$ $$\Delta_\mathcal{M}^{it}U(s)\Delta_\mathcal{M}^{-it}=U(e^{-2\pi t}s),\qquad J_\mathcal{M}U(s)J_\mathcal{M}=U(-s),$$ $$U(1)\,\mathcal{M}\,U(1)^*=\mathcal{N}.$$

$f\in\mathscr{F}_+$ に対して $\mathcal{A}_f\subset\mathcal{A}_0$ にこれを適用すると、 $$G_{0;f}$$ と表される生成子が得られる。

基準切断のラベルは意図的に残してある。 この定理は与えられた包含に対する一意性を主張するものであり、異なる基準切断から生じる生成子どうしが一致するかどうかについては何も述べていない。本節では他の基準切断は利用できない。

§3 のみから従うことは、$f\in\mathscr{F}_+$ に対して次の通りである。

ここで抽象的な枠組みが与えるものはこれで尽きる。各包含は一つの生成子を与え、$K_0$ と合わせて二次元の環となる。異なる $f$ に属する生成子どうしの関係、および $A\neq0$ に対する $K_A$ についての主張は §3 の範囲外である。

ヌル平面場の量子論からの入力

4ヌル平面場の量子論からの入力

本節の内容はすべて追加の物理的入力である。そのいずれも §3 からは従わない。

4.1 切断族とそのモジュラー・ハミルトニアン

Wall（2011）と Casini–Teste–Torroba（2017）は、真空およびヌル平面の切断に付随する環に対して、$\Delta_A^{it}$ が $\mathcal{H}$ 上で母線ごとに $$x^+\longmapsto A(y)+e^{-2\pi t}\bigl(x^+-A(y)\bigr),$$ として作用すること、および §2.4 の規格化のもとで $$K_A=K_0-G_A \tag{4.1}$$ が成り立つことを与える。

形式的には、 $$K_A\ \text{“}=\text{”}\ \int d^{d-2}y\int dx^+\,\bigl(x^+-A(y)\bigr)\,T_{++}(x^+,y), \tag{4.2}$$ $$G_f\ \text{“}=\text{”}\ \int d^{d-2}y\,f(y)\int dx^+\,T_{++}(x^+,y) \tag{4.3}$$ と書ける。

(4.2)–(4.3) は形式的な対応関係であって、定義ではない。 実際に定義されているのは §3.2 で供給される自己共役作用素、あるいは切断族については入力 (4.1) によるものであり、積分表示は $T_{++}$ が意味を持つモデルにおける対応関係を記録したものにすぎない。

注意。 対象 $$\mathcal{P}(y):=\int dx^+\,T_{++}(x^+,y)$$ を、固定した各 $y$ について通常の稠密定義された自己共役作用素として扱ってはならない。$T_{++}$ は作用素値超関数であり、ヌル母線全体に沿ってスメアしつつ $y$ については鋭く局在化させても、一般には作用素は定義されない。意味を持つ対象は $f\in\mathscr{F}$ による横方向にスメアされた $G_f$ である。記号 $\mathcal{P}(y)$ はこれ以降用いない。

4.2 基準切断からの独立性

(4.1) を組 $A$ と $A+f$ に適用し、ヴィースブロック関係式から読み取れる和則 $$G_{A;f}=K_A-K_{A+f}$$ とあわせると、 $$G_{A;f}=(K_0-G_A)-(K_0-G_{A+f})=G_{A+f}-G_A$$ が得られる。この右辺は (4.3) の線形性により $G_f$ に等しく、$A$ への言及を含まない。

$$G_{A;f}=G_f\tag{4.4}$$

これは入力に由来する主張である。 その根拠は、Casini–Teste–Torroba による明示的な形 (4.1)–(4.3)、あるいは既知のヌル平面リー環における切断族全体にわたる生成子の整合性のいずれかである。ボルヒャース–ヴィースブロック定理からは従わない。同定理は一度に一つの包含についてしか知らないからである。以降では $G_f$ と書き、ラベルは省略する。

4.3 一般の $f$ への形式的な線形拡張

§3 が生成子を供給するのは $f\in\mathscr{F}_+$ に対してのみである。一般の $f=f_+-f_-\in\mathscr{F}$ に対しては $$G_f:=G_{f_+}-G_{f_-}$$ と定め、これを共通のコア上での形式的な線形拡張として、次の意味で正確に扱う。

仮定 (L)。 $\Omega\in\mathcal{D}$ を含み、関係する作用素のもとで不変な稠密部分空間 $\mathcal{D}$ が存在し、その上ですべての $G_f$（$f\in\mathscr{F}$）が定義され、かつ $$G_{af+bg}\,\psi=(aG_f+bG_g)\,\psi\qquad(a,b\in\mathbb{R},\ \psi\in\mathcal{D})$$ が成り立つとする。

一般の $f$ について $G_f$ が $\mathcal{D}$ 上で本質的に自己共役であるという主張は行わず、それを証明する試みも本稿では行わない。以下で一般の $f\in\mathscr{F}$ を含む代数的な主張はすべて $\mathcal{D}$ 上で成り立つ関係についてのものである。ユニタリ群のレベルでの主張は §5.2 の別の仮定のもとでのみ行う。

正値性 $G_f\ge0$ は $f\in\mathscr{F}_+$ に対してのみ保持され、一般の $f\in\mathscr{F}$ については成り立たない。

4.4 定数モード

$f=\mathbf{1}$ の場合、切断は地平面を剛体的に並進させたものであり、$G_\mathbf{1}$ は $x^+\mapsto x^++s$ の生成子、すなわちヌル並進 $$G_\mathbf{1}=P_+$$ である。これは真空理論のポアンカレ共変性から直接、$P_+\Omega=0$ を満たす正の自己共役作用素として存在する（モジュラー的な言い方をすれば、並進されたウェッジに適用したボルヒャースの定理から）。$\mathbf{1}\notin C_c^\infty$ であるため、このモードは $\mathscr{F}_0$ の範囲内での §3.1 の議論からは得られず、§2.2 のようにその独立に得られる構成を用いて手で付加される。仮定 (L) は $\mathbf{1}$ を $\mathscr{F}$ に含むものと理解する。

作用素論的な留意点

5可換性と作用素論的な留意点

5.1 $[G_f,G_g]=0$ は単一の HSMI からは従わない

明示的に述べておく。単一の半側モジュラー包含は、一つの生成子を一つの基準環のモジュラー生成子に関係づけるにすぎず、それ以上のものではない。 異なる $f,g$ に対する $G_f$ と $G_g$ の相互関係には、独立した入力が必要である。本稿では次のいずれかを用いる。

5.2 強可換性とコア上での交換子の消滅

非有界な自己共役作用素に対しては、形式的な関係 $$G_{f+g}=G_f+G_g\quad\text{on }\mathcal{D}$$ は、ユニタリ群 $e^{isG_f}$ と $e^{itG_g}$ の可換性を含意しない。共通の稠密なコア上で交換子が消えることは、スペクトル射影が可換でないこと（ネルソンの例に見られる現象）と両立する。したがって次を区別する。

§6 のリー環的な主張はコアのレベルで行われる。群のレベルでの主張—とりわけ環が群へ指数化されるという主張—は、強可換性という追加の仮定、すなわち入力 (C2) のもとでのみ行う。 (C1) が (C2) を含意することは証明しない。

5.3 ヌル平面環の分解について

一般の相互作用する場の量子論に対して、以下は論理的に区別されるべきものであり、本稿では同一視しない。

最後のものは型論的な困難（III$_1$型因子の連続テンソル積）を抱えており、本稿では主張しない。本稿はこれら三つのいずれも主張せず、より弱く明示的に述べられた入力 (C1) または (C2) のみを用いる。

定理と入力の組み合わせ

6主要な関係式と得られるリー環

6.1 入力と仮定

(V)
各 $\mathcal{A}_A$ に対して $\Omega$ が巡回的かつ分離的
標準的な仮定
(BW)
ビゾニャーノ–ウィックマン：$\Delta_0^{it}$ はブースト
既知の定理
(BWi)
ボルヒャース–ヴィースブロック HSMI 定理
既知の定理（Araki–Zsidó による）
(M)
$K_A=K_0-G_A$；形式的対応 (4.3)；$G_{A;f}=G_f$
ヌル平面場の量子論からの入力（§4）
(L)
$f\mapsto G_f$ のコア $\mathcal{D}$ 上での形式的な線形拡張
技術的な仮定（§4.3）
(C)
(C1) または (C2)：$G_f$ どうしの可換性
ヌル平面場の量子論からの入力（§5.1）
(P)
$G_\mathbf{1}=P_+$ を付加
ポアンカレ共変性（§4.4）

6.2 導出

(i) $[K_0,G_f]=-iG_f$。
$f\in\mathscr{F}_0\cap\mathscr{F}_+$ に対しては、これは (3.1) であり、§3 において (V)、(BW)、(BWi) のみから得られる。$f=\mathbf{1}$ に対しては、(P) から得られる標準的なブースト–並進関係式である。すべての $f\in\mathscr{F}$ への拡張は (L) によりコア上で行う。

$$[K_0,G_f]=-iG_f\tag{6.1}$$

右辺の係数は単一の定数 $-i$ であり、$f$ に依存しない。すなわち $K_0$ は族 $\{G_f\}$ に一様に作用し、$f$ に依存する重みは一切与えない。これは §8 で用いられる。

(ii) $[G_f,G_g]=0$。
入力 (C) により、コア $\mathcal{D}$ 上で

$$[G_f,G_g]=0\tag{6.2}$$

(C2) のもとでは、これは強い意味でも成り立つ。§5.2 を参照。

(iii) $K_A=K_0-G_A$。
入力 (M) により、切断 $A\in\mathscr{F}$ に対して

$$K_A=K_0-G_A\tag{6.3}$$

(iv) $[K_A,K_B]=iG_{B-A}$。
$A,B\in\mathscr{F}$ に対して $B-A\in\mathscr{F}$ であり、(6.1)–(6.3) と (L) から、 $$[K_A,K_B]=[K_0-G_A,\,K_0-G_B]=-[K_0,G_B]+[K_0,G_A]=iG_B-iG_A,$$ したがって

$$[K_A,K_B]=iG_{B-A}\tag{6.4}$$

また、すべての $A\in\mathscr{F}$ に対して、 $$[K_A,G_f]=[K_0,G_f]-[G_A,G_f]=-iG_f, \tag{6.5}$$ これは $A$ に依存しない。

6.3 核を割ったリー環

$f\mapsto G_f$ の単射性は仮定しない。 $$\ker G:=\{f\in\mathscr{F}\ :\ G_f\psi=0\ \text{for all }\psi\in\mathcal{D}\}$$ とおくと、(L) によりこれは $\mathscr{F}$ の実線形部分空間である。$\operatorname{ad}(K_0)$ が $\{G_f\}$ に一様なスカラーとして作用する (6.1) ため、任意の線形部分空間はこの作用のもとで保たれる。特に $\ker G$ もそうであるから、商はさらなる仮定なしに誘導された作用を持つ。

反自己共役な生成子 $$\kappa:=iK_0,\qquad \gamma_{[f]}:=iG_f\quad\bigl([f]\in\mathscr{F}/\ker G\bigr)$$ を導入すると、これは商の上でよく定義される。すると、コア $\mathcal{D}$ 上で、 $$[\kappa,\gamma_{[f]}]=\gamma_{[f]},\qquad [\gamma_{[f]},\gamma_{[g]}]=0,\qquad \gamma_{[af+bg]}=a\gamma_{[f]}+b\gamma_{[g]}$$ が成り立つ。

結果として得られる実リー環は

$$\mathfrak{g}=\mathbb{R}K_0\ltimes\bigl(\mathscr{F}/\ker G\bigr),\qquad \mathscr{F}=C_c^\infty(\mathbb{R}^{d-2};\mathbb{R})\oplus\mathbb{R}\mathbf{1}$$

であり、次を満たす。

$A\in\mathscr{F}$ に対する各 $K_A$ は $K_0-G_A$ として $\mathfrak{g}$ に属し、(6.4) は $\mathfrak{g}$ の中で閉じている。

群のレベル。 強可換性の仮定 (C2) のもとでのみ、これは群 $\bigl(\mathscr{F}/\ker G\bigr)\rtimes\mathbb{R}$ へと指数化される。ここで $\mathbb{R}$ は全体のリスケーリング $f\mapsto e^{u}f$ によって作用する。(C2) がなければ、上記の枠で囲んだ主張の内容は、上に述べたコア・レベルの関係式の集合にとどまる。

幾何学的な解釈

7幾何学的な解釈

$\mathcal{H}$ 上では、ベクトル場との対応は $$K_0\ \longleftrightarrow\ x^+\partial_+,\qquad G_f\ \longleftrightarrow\ f(y)\,\partial_+ ,$$ であり、リー括弧 $$[x^+\partial_+,\,f\partial_+]=-f\partial_+,\qquad [f\partial_+,\,g\partial_+]=0$$ は $[\cdot,\cdot]_{\rm op}=i[\cdot,\cdot]_{\rm Lie}$ のもとで (6.1)–(6.2) と一致する。$K_A\leftrightarrow(x^+-A(y))\partial_+$ とすれば、(6.4) についても同様である。

この対応は、以下の制限つきで述べられる。

環の帰結

8構造的な限界

$\mathfrak{g}$ のすべての元は $$X=\alpha K_0+G_f,\qquad \alpha\in\mathbb{R},\ [f]\in\mathscr{F}/\ker G,$$ の形を持ち、(6.1)–(6.2) より、任意の $g$ に対して $$\operatorname{ad}(X)\,G_g=\alpha[K_0,G_g]+[G_f,G_g]=-i\alpha\,G_g$$ が成り立つ。

したがって $\mathfrak{g}$ のすべての元は、族 $\{G_g\}$ に一様なスカラー $-i\alpha$ として作用する。ゆえに、定数でない $a$ に対して $$G_g\ \longmapsto\ G_{ag}$$ を実装する $\mathfrak{g}$ の元は存在しない。すなわち、横方向に依存するダイレーション生成子は、ここで構成した環の中には存在しない。

この結論の射程。

9明示的に主張しないこと

同様に本稿は、次の事項を確立せず、確立を試みてもいない：包含の標準性（§3.1）、一般の $f$ に対する $G_f$ の本質的自己共役性（§4.3）、含意 (C1) $\Rightarrow$ (C2)（§5.2）、$f\mapsto G_f$ の単射性（§6.3）、あるいは $C_c^\infty\oplus\mathbb{R}\mathbf{1}$ を超えた $\mathscr{F}$ の拡張（§2.2）。これらは述べられた仮定のままである。

10結論

基準切断 $A=0$ における単一の半側モジュラー包含が与える正値性とブースト共変性を、既知のヌル平面モジュラー・ハミルトニアン構造（$K_A=K_0-G_A$、生成子の基準切断からの独立性、および相互可換性）と組み合わせることで、半直積の環 $$\mathfrak{g}=\mathbb{R}K_0\ltimes\bigl(\mathscr{F}/\ker G\bigr),\qquad \mathscr{F}=C_c^\infty(\mathbb{R}^{d-2};\mathbb{R})\oplus\mathbb{R}\mathbf{1},$$ が得られる。これは共通のブースト $K_0$ と、可換な横方向にスメアされたヌル並進 $G_f$ によって生成される。これらの関係式は共通のコア上で成り立ち、対応する群レベルの主張は強可換性という追加の仮定のもとで成り立つ。

これ以上に強い主張は行わない。

—参考文献