射影曲率：二次読み取り専用解析

01

結論の要旨

90度軸（上部キャップ側）と270度軸（円錐頂点側）のそれぞれで独立に行った有限窓フィットは、およそ千分の四という精度で一致する射影半径を返す。

本解析は、この47付近で共有されるスケールがどこから来るのかを問い、それを2つの部分に分けて答える。

rho = 1 / (4 * kappa_sigma) = 47.34582205692646

したがって全体の分類はPARTIALLY_EXPLAINED（部分的に説明済み）となる。構造的に導出された基準スケールと、切り分けられ定量化された、説明のつかない上部キャップの残差の組み合わせである。

その後の敵対的（アドバーサリアル）な読み取り専用解析により、この分類を変えることなく、未解決側の輪郭がより鮮明になった。90度側の補正は、(1,-2,1)に近い、狭くほぼゼロ和となる相互ell方向に閉じ込められている。しかし、その面内での小さなドリフト（drift）は、固定されたアクティブブロックのペアにも、許容されるすべてのドリフト定義にわたるフェイスレベルの需要座標にも、頑健には帰属させることができない。したがって、生き残った追跡調査結果のうち最も強いものは、因果的なものではなく幾何学的なものである。

90-degree correction: narrow near-zero-sum cross-ell direction
ell=0 face demand:     extremely stable rank-1 redistribution mode
link between the two:  suggestive in ranks, not robust across definitions

事前登録された読み取り専用の停止規則に到達した。保存された主問題（primal）のアーティファクトはこの幾何構造を特定するが、オプティマイザがなぜそれを選択するのかは決定できない。この問いを解決するには、双対（dual）／KKT情報を記録する新しい実験が必要になる。第6節に完全な監査記録を示す。

02

固定されたスコープと来歴

これは封印済みアーティファクトのみを用いた読み取り専用の解析である。ここに報告するすべての数値は、以前に保存された38件のサポート解から導出されたものである。新規のソルバー実行、追加のサポート解、パラメータの精緻化、ellの精緻化、フル実行のいずれも行っていない。これらの操作はANALYSIS_SCOPE.jsonによって明示的に禁止されており、パッケージ内のすべての来歴記録においてnew_solver_runsは0である。

権威ある主張の境界。projected_curvature_result.jsonおよびANALYSIS_SCOPE.jsonからの引用：

本解析は、保存された有限グリッド応答を分解し、凍結された線形写像の座標不変な恒等式を特定するものである。連続極限の曲率を推論することも、保存されていないKKT双対重みを割り当てることも、厳密なフル可行集合の対合関係を証明することもしない。

PROVENANCE_SHA256.jsonには、参照したすべての上流アーティファクトのSHA-256ハッシュが記録されている。これには、凍結された求解結果、復元された係数配列、コア実装モジュール、ゲート2ランナー、そして独自のマニフェストと検証記録を持つフェイス・マイクロスコープパッケージが含まれる。

03

47という数値の由来

これが中心となる導出である。短いものであり、この共通スケールが「偶然」ではなく「構造的」と呼ばれる理由でもある。

B0を、保存されたグリッド上のell=0虚振幅写像とする。保存された写像は境界関数sigma(s)を数値精度の限界まで厳密に表現する。

B0 c_sigma = sigma(s)

射影されたシグマモードのスケールを、表現係数に第二の射影汎関数を適用したものとして定義する。

kappa_sigma = q2_ell0^T c_sigma = 0.005280296954172882

ユニタリー円板展開と厳密な射影構造とをあわせると、順に次が得られる。

y2 = (sigma / 2) * x1^2          円板展開
x1 = 2 * a1                      射影構造
b2 = 2 * kappa_sigma * a1^2      代入
rho = a1^2 / (2 * |b2|)
    = 1 / (4 * kappa_sigma)
    = 47.34582205692646

a1^2は相殺する。予測される半径は経路振幅に依存しない。これこそが、異なるa1を持つ2つの異なる軸で同じ値が現れる理由である。対応する普遍二次係数は次の通り。

2 * kappa_sigma = 0.010560593908345763

解釈に関して3点を述べる。

• これは座標不変な円板／基底／射影のスケールである。凍結された写像、円板の幾何学、射影の性質であり、特定の求解、オフセット、フィッティング窓に固有のものではない。
• これは大きな生のz0係数の帰結ではない。第5節で示す通り、z0が寄与する射影曲率は正確にゼロである。
• 生の係数ノルムは物理的なモードの重要性を測る指標ではない。本文書内でのモード重要性に関する記述はすべて、物理振幅空間または座標不変な量を用いている。この区別は本質的である。90度ではz0グループの一次物理振幅ノルムが経路全体のノルムより大きい（比率1.1080417826762037）にもかかわらず、曲率にはまったく寄与しない。

04

射影テイラー展開と曲率分解

4.1 有限窓での二次フィット

両軸とも、保存された4つの射影フィットオフセットにわたって放物線でフィットした。

パーセントで表すと、270度側の半径は普遍値から-0.00668%のずれ、90度側のフィット二次係数は普遍係数より+0.44108%大きい（同等に、その半径は-0.43915%小さい）。観測された90度／270度のフィット半径の差は0.433438%である。

4.2 解像度に関する注意点 — 0.43%という数値を引用する前に

引用されている0.43%の一致は有限窓の放物線フィットの性質であり、漸近的な主張として実証されたものではない。taylor_coefficients.csvには各軸につき7つのオフセットでの直接テイラー推定値が記録されており、代表的な直接パラメトリック半径には明らかなスケール依存性が見られる。

最小のオフセットは、保存されたグリッドの有限精度差分による汚染が明らかに見られる。したがって、

• 両軸間での厳密な漸近曲率の一致は確立されていない。
• これらの有限グリッド値からは、連続極限、微分可能性、厳密な対称性についての結論を導くことはできない。得られている証拠は、保存された応答についての数値的な事実を裏付けるものであり、それ以上のものではない。

4.3 代表オフセットにおけるモードグループ分解

以下のすべてのグループ量は、保存された代表オフセット0.010986328125度において評価されている。b1およびb2への寄与はグループ間で加法的である。

90度（a1 = -47.770863870657976、a2 = 3693.805124456793、b1 = 9.405568783527052e-05、b2 = -23.852252706408095）：

270度（a1 = 47.22984500175838、a2 = 1291.830638283183、b1 = 1.5662900860059252e-05、b2 = 23.5879657134319）：

両軸は、構造的に異なる経路を通じて同程度の曲率に到達している。270度では、ell=0スペクトルグループがほぼすべてのb2を直接供給し、ell=2とell=4は0.01程度の寄与にとどまる。90度では、個々のグループの寄与が正味の結果の3〜4倍にも達し、しかも符号が逆である — これが次節の主題である。

05

z0のみでは不十分な理由、そして上部キャップの残余モードがどのように相殺するか

5.1 z0のみの経路は射影曲率がゼロになる

q2[0] = 0であるため、z0方向は第二の射影汎関数によって消滅させられる。したがって、厳密にz0のみの射影経路は次を持つ。

b1 = 0,  b2 = 0,  射影曲率 = 0,  射影半径 = 無限大

これは両方の軸で成り立つ。この事実は結果のJSONに、90度・270度いずれについてもz0_only_projected_radius: "INFINITE"として明示的に記録されている。

この帰結は構造的なものであり、第3節が係数の大きさと曲率への関連性を区別することにこだわる理由でもある。有限の射影曲率はすべて残余モードによって供給される。支配的な生のz0係数は、その振幅ノルムがどれほど大きくとも、曲率には何も供給しない。

5.2 90度における相殺

代表オフセット0.010986328125度において、90度側のb2への寄与は次の通りである。

ell=0 spectral: +17.47054612371266
ell=2:          -77.65338328346152
ell=4:          +36.33058445334078
-----------------------------------
正味:            -23.852252706408095

これらの寄与の総量（絶対値の和）はおよそ131.45であるのに対し、正味はおよそ-23.85である。3つの相殺診断値が保存されている。

3行目が最も示唆に富む。普遍的な恒等式b2 = 2 * kappa_sigma * a1^2を、保存された90度のa1で評価し、その軸に適した反転を適用すると、反転された普遍b2予測値 -24.09986072482907が得られる。保存されている実際の値は-23.852252706408095であるため、次のようになる。

この普遍的な基準に対して測ると、個々のグループの偏差は大きく、かつ互いに逆向きである。

ell=0 spectral - 普遍基準: +41.57040684854173
ell=2:                    -77.65338328346152
ell=4:                    +36.33058445334078

これらの偏差は99.8408%まで相殺し、上記の小さな残差だけが残る。対照的に、270度では同じ計算により+0.007600948861661294、+0.011734827090482791、+0.011553917043577270という偏差が示され、いずれも小さく、符号もすべて同じであり、保存されている基準差分の相殺率は正確に0.0である。270度軸には相殺そのものが必要なく、90度軸には必要であり、実際に相殺が起きている。

5.3 これが確立すること、しないこと

これは共通スケールに向かう強力な定量的補償である。個別には正味の値の数倍にもなる3つのグループ寄与が、互いに独立に導かれた基準値の1%以内に収まるよう協調している。

ただしこれは証明ではない。フル可行集合全体にわたって、この相殺を強制する厳密な恒等式は見つかっていない。保存された求解記録には円錐双対乗数が含まれておらず、以前にテストされたフルコンプリメント写像も実行不可能であるため、この相殺を説明したはずの対称性の候補は確認されるのではなく棄却された。この補償は、保存された応答についての測定された事実としてここに報告されており、残差+0.24760801842097635は明示的に「未説明」側の帳簿に残されている。

06

90度の近ゼロ幾何構造に関する追跡調査

本節のすべての解析は、同じ38件の保存済み主問題（primal）解を再利用している。追加のサポート解、パラメータの精緻化、オプティマイザの実行はいずれも行っていない。それぞれの推論ステップは個別の出力パッケージに分けて配置されており、後の敵対的監査が、先行する探索的な候補の解釈を規定する。

6.1 相殺は狭いほぼゼロ和方向を選び取る

5つの安定な差分幅のそれぞれについて、実際値マイナス普遍値のグループ応答を次のように定義する。

Delta(h) = (Delta_ell0, Delta_ell2, Delta_ell4).

代表的な幅において、各成分は次の通りである。

(+41.57040684854174, -77.65338328346150, +36.33058445334078),

相殺率は0.9984082220825929である。5つの幅すべての安定な範囲にわたると次のようになる。

ゼロ和平面のみに制約したブラインドPCAは次を返す。

d_zero = (+0.4337285565, -0.8159549679, +0.3822264114),

これは正規化された(1,-2,1)から2.0870314575度離れており、ゼロ和射影エネルギーの0.9999623707345359を捉えている。270度の代表的な対照群では、3つの小さな同符号の偏差があり相殺率はゼロであるため、この近ゼロ幾何構造は、保存されたデータの中では90度側の経路に特有のものである。

これが確立するのは狭い経験的方向であり、厳密なステンシル則ではない。ゼロ和成分を次の直交基底で表すと、

s = (1,-2,1),  a = (1,0,-1),  n = (1,1,1),

最良の集約方向はおおよそ次のように書けることが示される。

d_star proportional to (1.0631164788, -2, 0.9368835212).

しかし、フィットされた面内係数比lambda = B/Aは0.0511741から0.0800424まで変動し、その集約値からの最大相対偏差は0.2681688852である。したがって、ゼロ和平面と狭い円錐は確認されているものの、厳密な固定lambda仮説は成り立たない。

6.2 暫定的なアクティブ需要との関連

この方向は次のように分解された。

Delta(h) = alpha(h) d_zero + eta(h) d_perp + epsilon(h) n,
r_eta = eta/alpha,  r_epsilon = epsilon/alpha.

最初の事前登録された比較では、面内のドリフトと観測可能な漏れ（リーケージ）を分離した。

ここでp_Dは、奇の一次応答から構成される正規化された二次需要バランスである。固定ペアはこれらの幅にわたってアクティブ需要の95.71%から95.94%を占め、当初のr_etaの関連は絶対スピアマン相関0.90を持つ。これにより暫定ラベルACTIVE_DEMAND_CANDIDATEが正当化されたが、因果的またはKKT的な解釈が正当化されたわけではない。

6.3 敵対的監査によりペア固有のメカニズムは棄却される

この候補は、固定ペアを変更または再選択することなく検証された。

正準ペアが、より良く見える競合に置き換えられることは一度もなかった。正しい敵対的判定は次の通りである。

DOES_NOT_SURVIVE
ELL0_FACE_LEVEL_NOT_PAIR_SPECIFIC

この不合格は、共有される奇応答項がこの関連を機械的に作り出していることを示すものではない。その普遍的な共有項単独では、厳密な裾確率は99/120 = 0.825であるのに対し、比を取らない生の偶成分etaは元の符号を保ち、裾確率は8/120 = 0.0666667である。むしろこれが示すのは、主張されていた方向レベルかつペア固有のメカニズムが頑健ではないということである。

6.4 回帰を用いないフェイス幾何構造

次に、中心境界にある4つのell=0ブロックを、単一の正規化された需要ベクトルとして扱った。

p(h) = (p_11, p_12, p_24, p_29),  sum_i p_i = 1,

フェイス座標に対するドリフトの回帰は行っていない。中心化PCAの結果は次の通りである。

つまり、フェイス需要の変動は真にランク1であるが、そのモードは主にs29対プールされた残り3ブロックというものであり、特別なs29-s24の交換ではない。これは、競合スキャンにおいて6つのペアワイズ需要座標すべてが同様の結果を示した理由も説明している。

除外された各幅について、PCA方向と平均は残り4つの幅のみから推定された。得られたクロスフィット済みのスコアは、回帰直線をフィットすることなく、順位と符号を用いて4つのドリフト定義と比較された。

元の順位の並びは、120通りのスケール割り当ての下ではまれである（片側で5/120 = 0.0416667）が、事前登録された「5つすべてで符号が一致する」という条件には合格しない。正の分母alphaが変動することで、生のetaのペアワイズ順序の6/10が反転する。これは正規化に対する感度を示すものであり、alphaが無視してよい要因であることや、この反転がアーティファクト（人為的な副産物）であることを証明するものではない。

座標を揃えた4次元の270度対照群も、強くランク1である（PC1割合0.9975978110332967）。これは元々の29ブロックのell=0フェイスでも同様である（0.9963579652925423）。したがって、ランク1の需要変動そのものは90度に特有の兆候ではない。270度で再現されないのは、元のドリフトとの対応関係である。座標を揃えたスピアマン相関は-0.60であり、中心化符号が正の一致は2/5にとどまる。

6.5 追跡調査の最終分類と調査終了地点

追跡調査で得られた証拠は、確固たる幾何学的結果と、裏付けのないメカニズムの主張とを分けて示している。

RANK1_FACE_GEOMETRY_CONFIRMED_DRIFT_LINK_NOT_ROBUST
FACE_LEVEL_NOT_SUPPORTED

90度側の狭い近ゼロ和方向、小さな観測可能な漏れ、そしてell=0フェイスのランク1再配分は、保存された5スケールの範囲について再現可能な事実である。その方向を選択するオプティマイザレベルのメカニズムの正体は、保存された主問題の応答からは頑健には復元できない。事前登録された停止規則の下、読み取り専用のメカニズム探索はここで終了する。さらなる因果的検証には、円錐双対乗数、スラック変数、アクティブ閾値情報を保存する新たな求解が必要であり、その決定規則は実行前に封印されている必要がある。

上記の厳密な順列確率は、保存された5つのスケールの並び順のみを記述するものである。これらは母集団のp値ではなく、因果的、KKT的、双対的、連続極限的、あるいは介入に関する主張を正当化するものではない。

6.6 権威ある追跡調査のアーティファクト

各段階には、それぞれ独自のスコープ、来歴記録、プリフライト記録、SHA-256マニフェストがある。後の否定的な監査は、先行する探索的段階の主張を狭めるものであり、保存された結果を遡って変更するものではない。

07

ディスクレベルとアクティブ制約の知見

active_disk_quadratic_demand.csvには、アクティブな境界ブロックごとに、物理的なディスクレベルの二次需要sigma * (x1^2 + y1^2)、対応するz0のみの需要、二次の供給、そしてその結果としての供給／需要の会計が記録されている。

ランキングの境界（結果JSONに基づく権威ある注記）。ランキングは、保存されていないKKT双対重みではなく、重み付けなしの物理ディスク二次需要sigma*(x1^2+y1^2)を用いている。これらは運動学的なストレスランクであり、一意な因果的曲率配分ではない。本節のいかなる記述も、KKT重み付けされた因果的帰属として読んではならない — 円錐双対乗数は一度も保存されていない。

7.1 90度キャップは実質的に低ランクである

13個の境界ブロックがアクティブであるが、重み付けなしの需要は一握りのブロックに集中している。

13個のアクティブブロックに対して実効参加数が1.8067であることは、「実質的に低ランクである」ことの定量的な表現である。全体／z0のみの比率1.234は、残余モードがここで重要であることを示す第二の独立した根拠である。実際の需要は、z0方向のみが生み出す需要をおよそ23%上回っている。

90度でのell別需要：0 → 28714.95849561105、2 → 62.28548520077859、4 → 0.0002070587022949553。ell=0の割合は0.9978355921834331である。

7.2 270度の円錐頂点側は広く分布するが、圧倒的にell=0が支配的

270度でのell別需要：0 → 137554.43514200783、2 → 5.6142181336861233e-08、4 → 2.6268109124899874e-10。

頂点側は、構造としてキャップ側の鏡像になっている。アクティブなブロック数ははるかに多く（89対13）、需要はおよそ24個のブロックにわたって分散しているが、ell=2およびell=4の頂点ブロックは — 真に境界ブロックではあるものの — 一次曲率需要が無視できるほど小さく、ell=0の合計よりも10桁ほど小さい。これは第4.3節のモードグループ表の、ディスクレベルでの対応物であり、そこでも270度のell=2およびell=4のb2寄与は同様に無視できるものであった。これが、この軸で相殺が不要である理由である。

08

構造的に説明できる部分と、未説明のまま残る部分

説明できる部分

もう一つ確立されている、数値的というより構造的な事実として、z0方向が寄与する射影曲率は両軸において正確にゼロである。これはq2[0] = 0によるものであり、したがって射影曲率のすべては残余モードの現象である。

未説明の部分

PARTIALLY_EXPLAINEDというラベルの根拠を、結果JSONの言葉で示す。

• なぜ数値的な偶然ではないか。座標不変な円板／基底の恒等式が、どちらのフィット半径を用いる前にも共通スケールを予測し、下側の結果を1%を大きく下回る精度で再現する。上側の残差は明示的に切り分けられている。
• なぜ完全には構造的に説明されていないか。共通の47.3458というスケールは、凍結されたell=0シグマモードに対しては厳密であり、下側キャップを説明する。上側キャップが0.44パーセント以内に収まるのは、大きな相互ell相殺があった後に限られる。保存されたアーティファクトには円錐双対乗数が含まれておらず、以前にテストされたフルコンプリメント写像も実行不可能であるため、その相殺を強制する恒等式は見つかっていない。

追跡調査の監査により、この帳簿に次の2つの記述が加わる。

変わらない主張の境界

これらはデータを読み直せば解決する未解決の問いではなく、解釈上の限界である。

1. 連続極限の主張なし。ここでの有限グリッドの数値的証拠は、連続極限・微分可能性・厳密な対称性についての定理を裏付けるものではない。第4.2節が示す通り、直接テイラー推定値はスケールに依存する。
2. ランキングからの因果的帰属なし。アクティブブロックのランキングは、重み付けなしの運動学的ディスク需要ランクである。円錐双対乗数は保存されていないため、このパッケージにはKKT重み付けされた因果的曲率配分は存在せず、そこから推論することもできない。
3. 生の係数からのモード重要性の主張なし。物理振幅空間または座標不変な量を用いること。z0グループはこの典型的な反例であり、生のノルムでは支配的でありながら、曲率への寄与は正確にゼロである。
4. 上部キャップについての厳密な対称性の主張なし。90度側が共通スケールに近いことは測定された事実であり、それが強制されていると証明されたわけではない。
5. 追加の求解なし。本解析は封印された38件の解を消費し、ソルバー実行はゼロ回であった。本文書のいかなる記述も、それ以外を示唆するものと読んではならない。
6. 保存された5つのスケールからのさらなるメカニズム選択なし。ペアスキャン、厳密な順列検定、クロスフィットPCA、正規化に関する監査により、事前登録された読み取り専用の調査経路は尽きている。これら同じ5点から別のブロック対比やドリフトの正規化方法を選び直すことは、メカニズムを解決するのではなく、事後選択バイアスを再び持ち込むことになる。

09

再現性とファイルガイド

検証記録

以下の検証記録は、元となる射影曲率パッケージについてのものである。第6節にある5つの追跡調査の解析は、それぞれ独自のマニフェストを持つ別個の封印済み読み取り専用パッケージであり、ここでは参照されているが、元の12ファイルのハンドオフマニフェストに黙示的に追加されているわけではない。

このハンドオフに含まれるすべてのファイルはHANDOFF_MANIFEST_SHA256.txtにハッシュとして記載されており、本解析が参照したすべての上流アーティファクトはPROVENANCE_SHA256.jsonにハッシュとして記載されている。整合性を確認するには次を実行する。

sha256sum -c HANDOFF_MANIFEST_SHA256.txt

上流パッケージ自体の記録はMANIFEST_SHA256_SOURCE.txtおよびPACKAGE_VERIFICATION_SOURCE.txtにそのまま保存されている。なお、元のマニフェストには、このハンドオフには含まれていない2つのファイル — analyze_projected_curvature.pyおよびread_only_preflight.json — が記載されており、また元パッケージ自体のREADME.mdは、ここではREADME_SOURCE.mdという名前でハッシュ値を変えずに含まれている。

ファイルガイド

38件の個別求解JSONファイルおよび解析のソースコードは、元のハンドオフには意図的に含まれていない。README関連の基本的な値はすべて、そのJSONおよびCSVアーティファクトの中に存在する。後の近ゼロ方向解析およびフェイス幾何構造に関する値は、第6.6節に記載された、別個にマニフェスト化された結果ファイルによって規定される。