iid 2進参照に対するコラッツ脱出語の有限ブロック診断

本稿は、有限整数のコラッツ脱出語の統計量を、iid な2進語モデルのそれと比較する実験的研究である。
その目的は、両者がどのように異なるか、そしてその差のうちどれだけが単純な有限ブロック記述で再現できるかを実験的に明らかにする。ただしその差を生み出す機構を同定することではない。

1.1 問い

加速版コラッツ（シラキュース）軌道は、その脱出語、すなわち軌道が層から脱出するまでに記録される 2進付値 \(k_i = v_2(3n_i + 1)\) の列によって要約できる。
よくあるモデル化の理想化では、これらの付値を iid な 2進ドローで置き換える。有限整数は iid ではなく、実際的な問いは構造的なものである：

粗い経路記述子で条件付けたとき、有限整数の語の測度は iid 参照からどこで乖離するか、その乖離は有限ブロック統計量だけで説明できるのか？

本稿は第一の問い「どこで乖離するか」に答え、より強い第二の問い（「生成される」）に対しては一貫して否定的な答えを得る。
すなわち、有限ブロックは乖離を診断し、その識別力はブロック長とともに増大するが、我々が試した有限ブロックの生成モデルは、語全体に見られる不足分を再現しない。

1.2 主張すること、しないこと

1.3 貢献

1. 共通の条件付けスキーム ――ブリッジクラスタ・累積付値ウィンドウ・パリティで定義される状態―― により、4 つの有限ブロックテストの直接比較を可能にする（§3）。
2. 診断的結果：ブロック対数尤度比スコアは、有限整数の語を iid の語から分離し、その分離はブロック長が \(L=3\) から \(L=6\) へ増えるにつれて単調に増大する（§4、テスト 1–2）。
3. 2 つの否定的・生成的結果：有限ブロックの再重み付けは過補正し、近似的な最大エントロピーブロック射影は、生／減衰再重み付けより良くならない（§4、テスト 3–4；§5 で統合）。
4. スクリプトが生成する粗い A/B/C/D による粗い分類、およびいずれのテストでも除去できなかった事。ブリッジ形状とパリティで添字付けられる事。残差構造についての、誠実な説明である（§5）。

1.4 読み方の案内

§2 は記法と参照モデルを固定する。§3 は状態とブロックスコアを定義する。 §4 は 4 つのテストを順に報告する。§5 は中心章であり、否定的結果を統合し、分類記号を説明する。§6 は残った構造を考えるための候補モデルクラスを整理する。§7 は定義・定数・再現に関するメモをまとめる。